Représentation des nombres

Cours PLURITAL n°1 du 02/10/2007

Jean-François Perrot

1. Développement d'un nombre
   1. Introduction, motivation
   2. Un petit rappel d'arithmétique élémentaire 
      
2. Utilisation du développement par rapport à une base pour représenter les nombres.
   1. Linguistique
      1. Nommer en base 10
      2. Un vocabulaire infini ?
      3. Croissance logarithmique
   2. Écriture positionnelle
      1. Les restes deviennent des chiffres ...
      2. ... écrits de droite à gauche !
      3. Exemples :
   3. Commentaire

I. Développement d'un nombre

1. Introduction, motivation

   Les nombres dont il est ici question sont les entiers positifs ou nuls, appelés par les mathématiciens les entiers naturels.
   Ceux dont Kronecker disait : Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
   
   Les nombres sont par nature des êtres abstraits.
   La question qui se pose est celle de leur représentation concrète : par écrit, mais aussi par oral (dans le langage parlé).
   Peut-on désigner un nombre ? le nommer ?
   La réponse est en général non !
   À moins de recourir à une périphrase, comme le nombre e est la base des logarithmes népériens...
   (pour d'autres exemples, adressez-vous à votre mathématicien préféré).
   Bon, bien sûr, il y a ces fameux nombres transcendants, mais les entiers, justement, nous savons les nommer !
   Voyons de plus près.
   
   
   • Rappelons d'abord qu'un nombre est un objet de calcul, et pas du tout une chaîne de caractères.
     Donner un nombre, pour un mathématicien, c'est donner un procédé permettant de le calculer
     (à l'instar du célèbre nombre π, obtenu comme le rapport entre la longueur d'un cercle et son diamètre...).
     Par exemple, l'expression
     12 + 16 * (6 + 16 * (10 + 16 * ( 0 + (16 * 13))))
     désigne le nombre qui
     
     • s'écrirait ८५४६३५ dans un texte en devanâgari et ٨٥٤٦٣٦ dans un texte en écriture arabe
       
     • se dit en français huit-cent-cinquante-quatre-mille-six-cent-trente-six (nouvelle orthographe)
       et achthundertvierundfünfzigtausendsechshundertsechsunddreißig en allemand
       
     • est noté D0A6C en hexadécimal
     • etc...
       
       
   • Mais, pour le commun des mortels, savoir que le nombre existe ne suffit pas, on veut le nommer d'une manière univoque.
     Héritiers d'une longue tradition, nous croyons "naturel" de dire que le nombre ci-dessus est 854636,
     alors qu'il s'agit seulement de son nom usuel dans notre environnement : suivant le contexte, ce nom peut changer.
     Il est utile d'examiner sa structure : savoir comment il est fait (le pourquoi et le comment).
     
     La question du nom des nombres est à l'étude depuis les origines de l'humanité [voir dans Wikipédia la série d'articles : Numération].
     Cette question prend une importance nouvelle dans le contexte informatique, ce qui motive cette page.
     Notons au passage que la langue anglaise fait une différence lexicale utile entre number ( = nombre) et numeral ( = nom de nombre).
     
     
   • Nous n'analyserons ici que des procédés utilisant un jeu de symboles spécifiques (les chiffres) dotés de valeurs numériques a priori
     et permettant d'écrire les nombres comme suites finies de ces symboles.
     Plus précisément, nous admettons que si notre jeu de symboles comporte N chiffres,
     les valeurs numériques en question sont 0, 1, 2, ... N-1.
     Par exemple, pour N = 16, les valeurs des chiffres hexadécimaux A, B, C, D, E, F sont 10, 11, 12, 13, 14 et 15.
     [Le but de cette restriction est d'écarter les procédés fondés sur l'attribution de valeurs numériques aux lettres de l'alphabet
     comme la gematria hébraïque et l'abjad arabe.]
     
     

2. Un petit rappel d'arithmétique élémentaire :

   1. Étant donné un nombre naturel quelconque k, on en tire une suite de nombres compris entre 0 et N-1
      
      
      • en procédant par divisions successives par N
        
      • en s'arrêtant lorsque le quotient devient nul
      • et en prenant à chaque fois le reste de la division.
      (rappel dans le rappel : le reste de la division par N est compris entre 0 et N-1).
      
      Exemple : k = 854636 et N = 16
      
      854636 = 53414 * 16 + 12
      53414 = 3338 * 16 + 6
      3338 = 208 * 16 + 10
      208 = 13 * 16 + 0
      13 = 0 * 16 + 13
      
      La suite des restes en question est donc ici : 12, 6, 10, 0, 13.
      
      
   2. Réciproquement, la donnée de cette suite permet de retrouver le nombre k en "remontant" la chaîne des divisions :
      854637 = 12 + 16 * (6 + 16 * (10 + 16 * ( 0 + (16* 13)))) = 12 + 16 * 6 + 16² * 10 + 0 * 16³ + 13 * 16⁴
      
      On notera que les deux expressions ci-dessus sont équivalentes du point de vue de leur valeur (d'où le signe "="),
      mais pas du point de vue du coût du calcul de cette valeur :
      
      • la première nécessite seulement 4 multiplications et 4 additions,
        
      • la seconde y ajoute les calculs des puissances de 16
      La première suit le schéma de Horner, c'est ainsi que procèdent les ordinateurs ;
      nous verrons plus loin que la seconde n'est que la traduction en notation mathématique de l'énoncé ordinaire du nombre
      dans une langue comme le français.
      
      
   3. Conclusion : Pour n'importe quel N supérieur à 1 (pour pouvoir diviser !), il y a donc une correspondance biunivoque (alias bijection) entre
      
      • d'une part les entiers positifs
      • d'autre part les les suites de nombres compris entre 0 et N-1 dont le dernier terme n'est pas nul.
        
        
      La clause relative au dernier terme non nul est indispensable pour assurer l'unicité de la suite.
      On dit que N est la base, et la suite des restes s'appelle le développement du nombre donné par rapport à cette base.
      
      
   4. Remarque : cette correspondance est une loi de la nature, un fait établi par un raisonnement mathématique,
      qui n'a en lui-même aucun rapport avec le besoin qu'ont les hommes de nommer les nombres.
      
   
   

II. Utilisation du développement par rapport à une base pour représenter les nombres.

1. Linguistique

   • Nommer en base 10

     Notons d'abord que le nom français huit-cent-cinquante-quatre-mille-six-cent-trente-six,
     de même que le nom allemand achthundertvierundfünfzigtausendsechshundertsechsunddreißig,
     est construit sur le développement en base 10.
     En effet, l'un et l'autre ne sont que des lectures plus ou moins ordonnées de l'expression 8*10⁵+5*10⁴+4*10³+6*10²+3*10¹+6*10⁰.
     Voyez  Numération pour vous convaincre que ce procédé fort répandu n'est pourtant pas universel.
     

   • Un vocabulaire infini ?

     Au-delà des différences de syntaxe - l'allemand dit sechsunddreißig là où le français dit trente six, etc -
     le procédé repose sur une série de noms donnés par la langue aux puissances de 10 : cent, mille, million, milliard, etc.
     Cette série de noms est organisée de manière plus ou moins régulière selon les langues
     (par exemple le japonais est plus régulier que les langues européennes, et le système indien encore plus)
     mais elle est finie par nature, alors qu'il faurait nommer la suite infinie des puissances de 10.
     On s'efforce de l'étendre par divers procédés lexicaux  (voyez encore Wikipédia : Echelles longue et courte et Noms des grands nombres),
     mais clairement ces procédés lexicaux laissent à désirer, et la solution complète du problème se trouve ailleurs,
     dans le système positionnel.
     

   • Croissance logarithmique

     Même si le procédé linguistique n'est pas vraiment adéquat à l'infinité des nombres,
     et même si les noms de nombres exprimés dans les langues naturelles tendent à être fort longs par rapport aux mots d'usage courant,
     il faut reconnaître que la longueur des noms de nombres ne croît que très lentement avec la taille du nombre nommé.
     En effet, cette longueur est grosso modo proportionnelle à celle du développement en base 10,
     donc au logarithme à base 10 du nombre désigné, qui croît très lentement.
     
     Cette croissance logarithmique de la représentation par rapport au nombre représenté a une importance capitale.
     C'est elle qui nous permet de manipuler couramment des nombres suffisamment grands pour nous donner une prise efficace sur le monde.
     Dans le cas de l'informatique (voir plus loin), c'est elle qui a permis l'essor du calcul numérique dès les premiers ordinateurs,
     alors que le calcul non-numérique a dû attendre plus de puissance et plus de mémoire car il ne bénéficie pas de cet avantage
     (représenter en mémoire un livre deux fois plus gros qu'un autre prend deux fois plus de place,
     alors que la longueur du nom d'un nombre double d'un autre est à peu près la même que celle du nom du nombre original !).
     
     

2. Écriture positionnelle

   Le génie du système positionnel, inventé par les Indiens (et/ou par les Chinois), transmis à l'Occident par les Arabes,
   consiste à
   
   1. observer que seuls les noms des puissances de 10 constituent une série non bornée,
      les noms des nombres inférieurs à 10 pouvant être avantageusement remplacés par des symboles ad hoc, à savoir les chiffres ;
      
   2. éliminer les noms des puissances de 10 en les remplaçant par la position des chiffres dans la chaîne écrite :
      le chiffre logé à la k^ème position représentant le coefficient de la k^ème puissance de 10.
      

   • Les restes (dans la développement arithmétique) deviennent des chiffres ...

     Plus généralement, étant donné une base N, si on se donne un jeu de symboles quelconques pour représenter les entiers 0, 1, 2, ..., N-1,
     le développement d'un nombre quelconque selon cette base (la suite des restes, qui est une suite de nombres)
     peut s'écrire comme une suite de ces symboles.
     Mutation d'une importance capitale ! Nous passons ici du domaine des nombres (abstraits) à celui des signes (concrets).
     
     Ce sont ces symboles que nous appelons des chiffres.
     Il ya à leur sujets deux axes de variation principaux :
     
     1. selon les systèmes d'écriture, les différentes réalisations des chiffres décimaux :
        

        Latin	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
        Devanâgari	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
        Arabe	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
        Chinois	〇	一	二	三	四	五	六	七	八	九

        
        
        
     2. selon les bases utilisées, la collection des symboles nécessaires.
        
        • si la base b est inférieure à 10 on prend les b premiers chiffres décimaux :
          
          • 0, 1 pour la base 2 (binaire)
          • 0, 1, ..., 7 pour la base 8 (octal)
        • si elle dépasse 10, on complète la collection des chifres décimaux avec les b-10 premières lettres de l'alphabet latin,
          l'exemple typique étant la base 16 (hexadécimal) : 0,..., 9, A, ..., F.

   • ... écrits de droite à gauche !

     Il n'y a plus qu'à décider de la disposition spatiale de cette écriture (de gauche à droite, de droite à gauche ou de haut en bas ...).
     Notre tradition adopte l'ordre de droite à gauche.
     Oui, nous écrivons de droite à gauche la suite des chiffres représentant les restes pris dans leur ordre naturel,
     à savoir l'ordre dans lequel ils sont produits par l'algorithme des divisions successives par la base !
     
     Notez que ce choix est indépendant de l'ordre d'écriture de notre alphabet : les Indiens écrivent de gauche à droite,
     les Arabes de droite à gauche, mais tous écrivent leurs chiffres de droite à gauche !
     Au contraire, l'écriture n'ko, inventée par le Guinéen Souleymane Kanté pour noter le mandingue, adopte l'ordre de droite à gauche pour ses lettres
     et de gauche à droite pour ses chiffres (cf. la section N'Ko numerals de http://www.fakoli.net/nko/tutorial/).
     
     [ L'alphabet n'ko est entré dans Unicode 5.0, plage x07C0 - x07FF, voyez http://hapax.qc.ca/ et en particulier l'exposé de Patrick Andriès à la 27e conférence Unicode (Berlin) : tifinaghe et n'ko ]

   • Exemples :

     Dans notre exemple ci-dessus, N = 16, le développement est la suite de nombres (12, 6, 10, 0, 13),
     le nombre en question s'écrit donc comme une chaîne de caractères (chiffres hexadécimaux) : D0A6C.
     
     Vous pouvez multiplier les exemples ad libitum sur les pages que voici :
     
     
     • décimal -> base quelconque
     • base quelconque -> décimal
     
     avec toutefois les limitations suivantes :
     
     1. base n'excédant pas 36 (pour pouvoir se contenter d'une collection de chiffres fixe : de 0 à 9 et de A à Z),
     2. nombre d'au plus 15 chiffres décimaux (limitation due au procédé de calcul en JavaScript).

   • Remarque pratique :

     La donnée de la la représentation d'un nombre en base p ne permet en général pas de trouver simplement la représentation du même nombre dans une autre base q. Quoi de commun à première vue entre les chaînes de caractères D0A6C (base 16) et 854637 (base 10) ?
     - outre le fait que la seconde chaîne est plus longue que la première, puisque la base est plus petite...
     En d'autres termes, pour passer de la représentation d'un  nombre en base p à sa représentation en base q, il n'y a en général pas d'autre procédé que de revenir à la définition, calculer la suite des restes et les écrire comme chiffres dans l'ordre prescrit, comme nous l'avons fait ci-dessus.
     
     
   
   

3. Commentaire

   Attention ! Il faut bien comprendre la différence profonde entre une suite de nombres, objet mathématique, et un mot écrit avec des chiffres.
   
   • La suite de nombres existe en elle-même, sans référence à une quelconque écriture.
     
   • Le mot écrit ne représente une suite de nombres qu'en vertu d'une double convention
     
     • attribuant à chaque chiffre une valeur numérique
     • fixant un ordre de lecture des chiffres dans le mot qui détermine la position de chaque nombre dans la suite.
       et ainsi de quelle puissance de la base il est le facteur.
       
       
   Cela dit, cette invention géniale qu'est la notation positionnelle est à présent universellement adoptée, seul le choix de la base varie :
   10, ou 16 ou 2, parfois 8.